本题考点：牛顿迭代法

牛顿迭代法的定义：

这题的解法用暴力解法是非常简单的。主要的麻烦在于如何解的更好，答案就是用牛顿迭代法。

下面这种方法可以很有效地求出根号 aa 的近似值：首先随便猜一个近似值 xx，然后不断令 xx 等于 xx 和 a/xa/x 的平均数，迭代个六七次后 xx 的值就已经相当精确了。

例如，我想求根号 22 等于多少。假如我猜测的结果为 44，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号 22 了：

( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25

( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..

( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..

( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

….

image.png

这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用 (x, f(x))(x,f(x)) 的切线来逼近方程 x^2-a=0x 
2
 −a=0 的根。根号 aa 实际上就是 x^2-a=0x 
2
 −a=0 的一个正实根，这个函数的导数是 2x2x。也就是说，函数上任一点 (x,f(x))(x,f(x)) 处的切线斜率是 2x2x。那么，x-f(x)/(2x)x−f(x)/(2x) 就是一个比 xx 更接近的近似值。代入 f(x)=x^2-af(x)=x 
2
 −a 得到 x-(x^2-a)/(2x)x−(x 
2
 −a)/(2x)，也就是 (x+a/x)/2(x+a/x)/2。

同样的方法可以用在其它的近似值计算中。Quake III 的源码中有一段非常牛B的开方取倒函数。

知道方程实现就非常简单了。

我用了递归

class Solution {
    int s;
    
 public int mySqrt(int x) {
     s=x;
     if(x==0) return 0;
    return ((int)(sqrts(x)));
  }
    
    public double sqrts(double x){
      double res = (x + s / x) / 2;
    if (res == x) {
      return x;
    } else {
      return sqrts(res);
    }
    } 
}

package com.example.demo;

import com.sun.prism.shader.Solid_TextureYV12_AlphaTest_Loader;

/**
 * 69. x 的平方根
 实现 int sqrt(int x) 函数。

 计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

 由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

 示例 1:

 输入: 4
 输出: 2
 示例 2:

 输入: 8
 输出: 2
 说明: 8 的平方根是 2.82842...,
 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
 */
public class Lc69 {
    int s;

    public  int mySqrt(int x) {
        s = x;
        if (x == 0) return 0;
        return ((int) (sqrts(x)));
    }

    public double sqrts(double x) {
        double res = (x + s / x) / 2;
        if (res == x) {
            return x;
        } else {
            return sqrts(res);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int x = 8;
        Lc69 l = new Lc69();
        System.out.println(l.mySqrt(x));
    }
}