求最大公约数和最小公倍数
假设有两个数a和b，求a,b的最大公约数和最小公倍数实际上是一个问题，得出这两个数的最大公约数就可以算出它们的最小公倍数。
最小公倍数的公式是 a*b/m
m为最大公约数
因为
a=m*i; b=m*j;
最小公倍数为 m*i*j
那么，下面就开始计算a和b的最大公约数。
更相损减法：
《九章算術·方田》作分數約簡時，提到求最大公因數方法：反覆把兩數的較大者減去較小者，直至兩數相等，這數就是最大公因數。這方法除了把除法換作減法外，與輾轉相除法完全相同。例如書中求91和49的最大公因數：
- 91 > 49, 91 - 49 = 42
- 49 > 42, 49 - 42 = 7
- 42 > 7, 42 - 7 = 35
- 35 > 7, 35 - 7 = 28
- 28 > 7, 28 - 7 = 21
- 21 > 7, 21 - 7 = 14
- 14 > 7, 14 - 7 = 7
- 7 = 7, 因此91和49的最大公因數是7
辗转相除法：
輾轉相除法是利用以下性質來確定兩個正整數 a 和 b 的最大公因數的：
- 若 r 是 a ÷ b 的餘數, 則
gcd(a,b) = gcd(b,r)
- a 和其倍數之最大公因數為 a。
另一種寫法是：
- a ÷ b，令r為所得餘數（0≤r＜b）
若 r = 0，演算法結束；b 即為答案。
- 互換：置 a←b，b←r，並返回第一步。
这个算法可以用递归写成如下:
function gcd(a, b) {
if a mod b<>0
return gcd(b, a mod b);
else
return a;
}或纯使用循环:
function gcd(a, b) {
define r as integer;
while b ≠ 0 {
r := a mod b;
a := b;
b := r;
}
return a
}其中“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数。
C语言：
#include <stdio.h>
int gcd(int a,int
b)//最大公约数
{
if (a<b) return gcd(b,a);
else if (b==0)
return a;
else return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int
a,int b)
{
return
a*b/gcd(a,b);
}
main()
{
int
a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("最大公约数：%d\n",gcd(a,b));
printf("最小公倍数：%d\n",lcm(a,b));
}
输入两个正整数m和n, 求其最大公约数和最小公倍数. <1> 用辗转相除法求最大公约数 算法描述: m对n求余为a, 若a不等于0 则 m <- n, n <- a, 继续求余 否则 n 为最大公约数 <2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数
#include
int main()
{
int m, n; int m_cup, n_cup, res;
printf("Enter two
integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
if (m > 0 && n
>0)
{
m_cup = m;
n_cup = n;
res = m_cup % n_cup;
while (res !=
0)
{
m_cup = n_cup;
n_cup =
res;
res = m_cup %
n_cup;
}
printf("Greatest
common divisor: %d\n", n_cup);
printf("Lease
common multiple : %d\n", m * n /
n_cup);
}
else
printf("Error!\n");
return 0;
}
★ 关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载，现摘录如下: 约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。辗转相除法求最大公约数，是一种比较好的方法，比较快。对于52317和75569两个数，你能迅速地求出它们的最大公约数吗？一般来说你会找一找公共的使因子，这题可麻烦了，不好找，质因子大。现在教你用辗转相除法来求最大公约数。先用较大的75569除以52317，得商1，余数23252，再以52317除以23252，得商2，余数是5813，再用23252做被除数，5813做除数，正好除尽得商数4。这样5813就是75569和52317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法，肯定找不到。那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。比如说有要求a、b两个整数的最大公约数，a＞b，那么我们先用a除以b，得到商8，余数r1：a÷b＝q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：a＝bq1＋r1------l）如果r1＝0，那么b就是a、b的最大公约数3。要是r1≠0，就继续除，用b除以r1，我们也可以有和上面一样的式子： b＝r1q2＋r2-------2）如果余数r2＝0，那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢？因为如果2）式变成了b＝r1q2，那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽b和r1，那么由l）式，就一定能整除a，从而也是a1b的公约数。反过来，如果一个数d，能同时整除a1b，那么由1）式，也一定能整除r1，从而也有d是b1r1的公约数。这样，a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数，在r1＝0时，不就是r1吗？所以a和b的最大公约数也是r1了。有人会说，那r2不等于0怎么办？那当然是继续往下做，用r1除以r2，……直到余数为零为止。在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。
