概述
AVL树是一种自平衡的二叉查找树，由两位俄罗斯数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明。想了解树的相关概念，请点击这里。以下是对AVL树的详细说明：
一、定义与特性
- 定义：AVL树是一种二叉查找树，其中每个节点的左右子树的高度差的绝对值（即平衡因子）不超过1。
- 特性：
- 左右子树都是AVL树。
- 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1（-1、0、1）。
- 任意节点的左右子树的高度差不会超过1，这保证了树的高度相对较低，从而提高了搜索、插入和删除操作的效率。
二、平衡因子
平衡因子（Balance Factor，BF）是AVL树中的一个重要概念，用于衡量节点的左右子树的高度差。平衡因子的值只能是-1、0或1。具体计算方式为：节点的右子树高度减去左子树高度。
三、基本操作
AVL树的基本操作包括插入、删除和查找，这些操作都需要在保持树平衡的前提下进行。
-
插入：
- 按照二叉查找树的方式插入新节点。
- 插入后，从插入点向上回溯，更新每个节点的平衡因子。
- 如果发现某个节点的平衡因子绝对值超过1，则进行旋转操作以恢复平衡。
-
删除：
- 找到要删除的节点，并将其向下旋转成一个叶子节点。
- 直接删除该叶子节点。
- 从删除点向上回溯，更新每个节点的平衡因子。
- 如果发现某个节点的平衡因子绝对值超过1，则进行旋转操作以恢复平衡。
-
查找：
- 在AVL树中查找元素的过程与在二叉查找树中相同。
- 由于AVL树总是保持平衡的，所以查找操作的时间复杂度为O(log n)。
四、旋转操作
旋转操作是AVL树保持平衡的关键。根据节点插入或删除后不平衡的具体情况，AVL树的旋转可以分为四种类型：
- 单向右旋（LL）：当在节点的左子树的左子树上插入新节点导致节点不平衡（平衡因子为2）时，进行右旋转操作。
- 单向左旋（RR）：当在节点的右子树的右子树上插入新节点导致节点不平衡（平衡因子为-2）时，进行左旋转操作。
- 双向旋转（先左后右，LR）：当在节点的左子树的右子树上插入新节点导致节点不平衡（平衡因子为2）时，先进行左旋转再进行右旋转。
- 双向旋转（先右后左，RL）：当在节点的右子树的左子树上插入新节点导致节点不平衡（平衡因子为-2）时，先进行右旋转再进行左旋转。
五、应用场景
AVL树适用于插入删除次数较少但查找频繁的场景。例如，Windows进程地址空间管理就采用了AVL树来实现高效的查找操作。然而，由于AVL树在插入和删除操作后需要进行复杂的旋转操作来保持平衡，所以其性能在插入和删除操作频繁的场景下可能不如其他数据结构（如红黑树）。
综上所述，AVL树是一种高效的自平衡二叉查找树，通过引入平衡因子和旋转操作来保持树的平衡性，从而提高了搜索、插入和删除操作的效率。
Java代码实现
下面是一个简单的AVL树在Java中的实现。这个实现包括了插入、删除和查找操作，以及必要的旋转操作来维持树的平衡。
class AVLTree {
private class Node {
int key, height;
Node left, right;
Node(int d) {
key = d;
height = 1;
}
}
private Node root;
// Utility function to get the height of the tree
int height(Node N) {
if (N == null)
return 0;
return N.height;
}
// Utility function to get the maximum of two integers
int max(int a, int b) {
return (a > b) ? a : b;
}
// Right rotate subtree rooted with y
Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T2 = x.right;
// Perform rotation
x.right = y;
y.left = T2;
// Update heights
y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
// Return new root
return x;
}
// Left rotate subtree rooted with x
Node leftRotate(Node x) {
Node y = x.right;
Node T2 = y.left;
// Perform rotation
y.left = x;
x.right = T2;
// Update heights
x.height = max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
y.height = max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
// Return new root
return y;
}
// Get Balance factor of node N
int getBalance(Node N) {
if (N == null)
return 0;
return height(N.left) - height(N.right);
}
// Insert a node with given key in the subtree rooted with node and returns the new root of the subtree
Node insert(Node node, int key) {
// Perform the normal BST insertion
if (node == null)
return (new Node(key));
if (key < node.key)
node.left = insert(node.left, key);
else if (key > node.key)
node.right = insert(node.right, key);
else // Duplicate keys are not allowed in BST
return node;
// Update height of this ancestor node
node.height = 1 + max(height(node.left), height(node.right));
// Get the balance factor of this ancestor node to check whether this node became unbalanced
int balance = getBalance(node);
// If this node becomes unbalanced, then there are 4 cases
// Left Left Case
if (balance > 1 && key < node.left.key)
return rightRotate(node);
// Right Right Case
if (balance < -1 && key > node.right.key)
return leftRotate(node);
// Left Right Case
if (balance > 1 && key > node.left.key) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
// Right Left Case
if (balance < -1 && key < node.right.key) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
// Return the (unchanged) node pointer
return node;
}
// Delete a node with given key in the subtree rooted with node and returns the new root of the subtree
Node deleteNode(Node root, int key) {
// Perform standard BST delete
if (root == null)
return root;
if (key < root.key)
root.left = deleteNode(root.left, key);
else if (key > root.key)
root.right = deleteNode(root.right, key);
else {
// node with only one child or no child
if ((root.left == null) || (root.right == null)) {
Node temp = null;
if (temp == root.left)
temp = root.right;
else
temp = root.left;
// No child case
if (temp == null) {
temp = root;
root = null;
} else // One child case
root = temp; // Copy the contents of the non-empty child
} else {
// node with two children: Get the inorder successor (smallest in the right subtree)
Node temp = minValueNode(root.right);
// Copy the inorder successor's data to this node
root.key = temp.key;
// Delete the inorder successor
root.right = deleteNode(root.right, temp.key);
}
}
// If the tree had only one node then return
if (root == null)
return root;
// Update height of the current node
root.height = max(height(root.left), height(root.right)) + 1;
// Get the balance factor of this node (to check whether this node became unbalanced)
int balance = getBalance(root);
// If this node becomes unbalanced, then there are 4 cases
// Left Left Case
if (balance > 1 && getBalance(root.left) >= 0)
return rightRotate(root);
// Left Right Case
if (balance > 1 && getBalance(root.left) < 0) {
root.left = leftRotate(root.left);
return rightRotate(root);
}
// Right Right Case
if (balance < -1 && getBalance(root.right) <= 0)
return leftRotate(root);
// Right Left Case
if (balance < -1 && getBalance(root.right) > 0) {
root.right = rightRotate(root.right);
return leftRotate(root);
}
return root;
}
Node minValueNode(Node node) {
Node current = node;
// Loop down to find the leftmost leaf
while (current.left != null)
current = current.left;
return current;
}
// A utility function to do inorder traversal of BST
void inorder(Node root) {
if (root != null) {
inorder(root.left);
System.out.print(root.key + " ");
inorder(root.right);
}
}
// Main function
public static void main(String[] args) {
AVLTree tree = new AVLTree();
/* Constructing tree given in the above figure */
tree.root = tree.insert(tree.root, 10);
tree.root = tree.insert(tree.root, 20);
tree.root = tree.insert(tree.root, 30);
tree.root = tree.insert(tree.root, 40);
tree.root = tree.insert(tree.root, 50);
tree.root = tree.insert(tree.root, 25);
/* The constructed AVL Tree would be
30
/ \
20 40
/ \ \
10 25 50
*/
System.out.println("Inorder traversal of the constructed AVL tree is:");
tree.inorder(tree.root);
System.out.println("\n\nDelete 20");
tree.root = tree.deleteNode(tree.root, 20);
System.out.println("Inorder traversal of the modified tree is:");
tree.inorder(tree.root);
System.out.println("\n\nDelete 30");
tree.root = tree.deleteNode(tree.root, 30);
System.out.println("Inorder traversal of the modified tree is:");
tree.inorder(tree.root);
System.out.println("\n\nDelete 50");
tree.root = tree.deleteNode(tree.root, 50);
System.out.println("Inorder traversal of the modified tree is:");
tree.inorder(tree
