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组合数学汇总
LeetCoce1916. 统计为蚁群构筑房间的不同顺序
你是一只蚂蚁，负责为蚁群构筑 n 间编号从 0 到 n-1 的新房间。给你一个 下标从 0 开始 且长度为 n 的整数数组 prevRoom 作为扩建计划。其中，prevRoom[i] 表示在构筑房间 i 之前，你必须先构筑房间 prevRoom[i] ，并且这两个房间必须 直接 相连。房间 0 已经构筑完成，所以 prevRoom[0] = -1 。扩建计划中还有一条硬性要求，在完成所有房间的构筑之后，从房间 0 可以访问到每个房间。
你一次只能构筑 一个 房间。你可以在 已经构筑好的 房间之间自由穿行，只要这些房间是 相连的 。如果房间 prevRoom[i] 已经构筑完成，那么你就可以构筑房间 i。
返回你构筑所有房间的 不同顺序的数目 。由于答案可能很大，请返回对 109 + 7 取余 的结果。
示例 1：
输入：prevRoom = [-1,0,1]
输出：1
解释：仅有一种方案可以完成所有房间的构筑：0 → 1 → 2
示例 2：
输入：prevRoom = [-1,0,0,1,2]
输出：6
解释：
有 6 种不同顺序：
0 → 1 → 3 → 2 → 4
0 → 2 → 4 → 1 → 3
0 → 1 → 2 → 3 → 4
0 → 1 → 2 → 4 → 3
0 → 2 → 1 → 3 → 4
0 → 2 → 1 → 4 → 3
提示：
n == prevRoom.length
2 <= n <= 105
prevRoom[0] == -1
对于所有的 1 <= i < n ，都有 0 <= prevRoom[i] < n
题目保证所有房间都构筑完成后，从房间 0 可以访问到每个房间
组合
直接用帕斯卡法则求组合数，空间复杂度会爆。故用阶乘求。
对与每棵子树，除根节点必须先完成外，其它子树的工期可以任意分配。
令子树i的子树节点数，子树根节点分别为：n1,n2 ⋯ \cdots ⋯ ,分别为：i1,i2, ⋯ \cdots ⋯ , 其和为：x。
则第一个子树的分配方案数： ( x i 1 ) x \choose i1 (i1x) 不考虑子数n1子树的内部建造顺序。
则第二个子树的分配方案数： ( ( x − i 1 ) i 2 ) (x-i1) \choose i2 (i2(x−i1)) 不考虑子数n2子树的内部建造顺序。
⋯ \cdots ⋯
思路
先初始化好阶乘。
第一轮DFS求得各子树的节点数。
第二轮DFS求各子树的方案数。
代码
template<class T = long long>
class CFactorial
{
public:
CFactorial(int n):m_res(n+1){
m_res[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
m_res[i] = m_res[i - 1] * i;
}
}
vector<T> m_res;
};
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int waysToBuildRooms(vector<int>& prevRoom) {
const int n = prevRoom.size();
m_fact = new CFactorial<C1097Int<>>(n);
m_vSubTreeNodeCnt.resize(n);
vector<vector<int>> neiBo(n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
neiBo[prevRoom[i]].emplace_back(i);
}
DFSSubTreeNodeCount(neiBo, 0);
return DFS(neiBo, 0).ToInt();
}
void DFSSubTreeNodeCount(vector<vector<int>>& neiBo, int cur)
{
m_vSubTreeNodeCnt[cur] = 1;
for (const auto& next : neiBo[cur])
{
DFSSubTreeNodeCount(neiBo, next);
m_vSubTreeNodeCnt[cur] += m_vSubTreeNodeCnt[next];
}
}
C1097Int<> DFS(vector<vector<int>>& neiBo, int cur)
{
C1097Int<> biRet = 1;
int iCanSel = m_vSubTreeNodeCnt[cur] - 1;
for (const auto& next : neiBo[cur])
{
biRet *= m_fact->m_res[iCanSel];
const int iChildCnt = m_vSubTreeNodeCnt[next];
biRet *= m_fact->m_res[iChildCnt].PowNegative1();
biRet *= m_fact->m_res[iCanSel-iChildCnt].PowNegative1();
iCanSel -= iChildCnt;
biRet *= DFS(neiBo, next);
}
return biRet;
}
vector<int> m_vSubTreeNodeCnt;//子
CFactorial<C1097Int<>> * m_fact;
};
测试用例
template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
vector<int> prevRoom;
{
Solution sln;
prevRoom = { -1,0,0,1,2 };
auto res = sln.waysToBuildRooms(prevRoom);
Assert(6, res);
}
{
Solution sln;
prevRoom = {-1, 0, 1};
auto res = sln.waysToBuildRooms(prevRoom);
Assert(1, res);
}
}
