本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频

LeetCode2949统计美丽子字符串

给你一个字符串 s 和一个正整数 k 。
用 vowels 和 consonants 分别表示字符串中元音字母和辅音字母的数量。
如果某个字符串满足以下条件，则称其为 美丽字符串 ：
vowels == consonants，即元音字母和辅音字母的数量相等。
(vowels * consonants) % k == 0，即元音字母和辅音字母的数量的乘积能被 k 整除。
返回字符串 s 中 非空美丽子字符串 的数量。
子字符串是字符串中的一个连续字符序列。
英语中的 元音字母 为 ‘a’、‘e’、‘i’、‘o’ 和 ‘u’ 。
英语中的 辅音字母 为除了元音字母之外的所有字母。
示例 1：
输入：s = “baeyh”, k = 2
输出：2
解释：字符串 s 中有 2 个美丽子字符串。

• 子字符串 “baeyh”，vowels = 2（[“a”,“e”]），consonants = 2（[“y”,“h”]）。
  可以看出字符串 “aeyh” 是美丽字符串，因为 vowels == consonants 且 vowels * consonants % k == 0 。
• 子字符串 “baeyh”，vowels = 2（[“a”,“e”]），consonants = 2（[“b”,“y”]）。
  可以看出字符串 “baey” 是美丽字符串，因为 vowels == consonants 且 vowels * consonants % k == 0 。
  可以证明字符串 s 中只有 2 个美丽子字符串。
  示例 2：
  输入：s = “abba”, k = 1
  输出：3
  解释：字符串 s 中有 3 个美丽子字符串。
• 子字符串 “abba”，vowels = 1（[“a”]），consonants = 1（[“b”]）。
• 子字符串 “abba”，vowels = 1（[“a”]），consonants = 1（[“b”]）。
• 子字符串 “abba”，vowels = 2（[“a”,“a”]），consonants = 2（[“b”,“b”]）。
  可以证明字符串 s 中只有 3 个美丽子字符串。
  示例 3：
  输入：s = “bcdf”, k = 1
  输出：0
  解释：字符串 s 中没有美丽子字符串。
  参数范围：
  1 <= s.length <= 5 * 104
  1 <= k <= 1000
  s 仅由小写英文字母组成。

方法一

分析

时间复杂度

O(nn)

大致步骤

记录前缀和后，枚举左右端点。

setVowel	所有元音字符
vPre1[i]	前i个字符中元音的数量
vPre2[i]	前i个字符中辅音的数量

代码

核心代码

class Solution {
public:
int beautifulSubstrings(string s, int k) {
m_c = s.length();
std::unordered_set setVowel = { ‘a’,‘e’,‘i’,‘o’ , ‘u’ };
vector vPre1 = { 0 }, vPre2 = { 0 };
for (const char& ch : s)
{
if (setVowel.count(ch))
{
vPre1.emplace_back(vPre1.back() + 1);
vPre2.emplace_back(vPre2.back() );
}
else
{
vPre1.emplace_back(vPre1.back() );
vPre2.emplace_back(vPre2.back() + 1);
}
}
int iRet = 0;
for(int i = 0 ; i < m_c ; i++ )
for (int j = i; j < m_c; j++)
{
const int iNum1 = vPre1[j + 1] - vPre1[i];
const int iNum2 = vPre2[j + 1] - vPre2[i];
if (iNum1 != iNum2)
{
continue;
}
if (0 != iNum1 * iNum2% k )
{
continue;
}
iRet++;
}
return iRet;
}
int m_c;
};

测试用例

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
Assert(v1[i], v2[i]);
}
}
int main()
{
string s;
int k,res;
{
Solution slu;
s = “baeyh”;
k = 2;
res = slu.beautifulSubstrings(s, k);
Assert(res, 2);
}
{
Solution slu;
s = “abba”;
k = 1;
res = slu.beautifulSubstrings(s, k);
Assert(res, 3);
}
{
Solution slu;
s = “bcdf”;
k = 1;
res = slu.beautifulSubstrings(s, k);
Assert(res, 0);
}
{
Solution slu;
s = “ihroyeeb”;
k = 5;
res = slu.beautifulSubstrings(s, k);
Assert(res, 0);
}
}

方案二

s[left,right]是美丽字符的条件。
一，元音辅音相等。我们记录所有sub[left] = vPre1[left]-vPre2[left]，即元音辅音之差。如果sub[left]等于sub[right]，则元音辅音相等。
二，数量的平方是k的倍数。我可以转成等效问题：数量必须是m的倍数。如：k=4,则m=2。k=3，则m=3。k=12，m=6。显然：m小于等于k，且m不会为0。对于每个left，我们无需记录它的元音数量，只需要记录它的元音数量%m。
原理：
s[0…i-1]有n1个元音，s[i,j]有n2个元音，n3 = n2- n1 ，如何判断n3n3%k=0。
显然： (n3%k)(n3%k)%k $⟺$ n3n3%k
n3，n2,n1都对k求余。
由于n3 < k。所有n3n3 < k$\times$ k，要想%k等于0，只能 是0， k ,2k ,3k $\cdots$ ，最多k种。时间复杂度降到 O(nk)。
许多n3是非法，我用程序跑了一下，1000以内最多31个合法n3。O(31n)可以通过了。可以继续优化到O(1)。
除0外，n3n3 %k 等同余n3n3 = bk (a>0)
k可以表示为： a1ⁿ¹a2ⁿ²a3ⁿ³$\cdots$am^nm
n3 至少为 a1^(n1+1)/2 a2^(n2+1)/2$\cdots$ m2^(nm+1)/2，也就是上文的m。
n3n3是k的倍数，则n3必定m的倍数。n3为0,也符合。故 n3 % m ==0一定符合。
不等于0 一定不符合。
一，$n3\mathrm{mod}m\ne 0\to n3\ne 0$
二，令n3 = e*m+c ，由于c$\in$[0,m) 所以c3 一定不是m的倍数。

时间复杂度

如果用有序映射记录状态的数量，则时间复杂度为：O(nlognm)。
枚举每个每个美丽字符串的右端点时间复杂度O(n)，查询合法的对应left数量O(lognm)。如果用哈希映射记录状态和数量，总时间复杂度降到O(n)。

代码

class Solution {
public:
	int beautifulSubstrings(string s, int k) {
		m_c = s.length();
		std::unordered_set<char> setVowel = { 'a','e','i','o' , 'u' };
		vector<int> vPre1 = { 0 }, vPre2 = { 0 };
		for (const char& ch : s)
		{
			if (setVowel.count(ch))
			{
				vPre1.emplace_back(vPre1.back() + 1);
				vPre2.emplace_back(vPre2.back());
			}
			else
			{
				vPre1.emplace_back(vPre1.back());
				vPre2.emplace_back(vPre2.back() + 1);
			}
		}
		int m = 0;
		for (m = 1; 0 != m * m % k; m++);
		int iRet = 0;
		std::unordered_map<int, std::unordered_map<int,int>> mSub;
		for (int i = 0; i < m_c; i++)
		{
			const int iSub = vPre1[i+1] - vPre2[i+1];
			const int iNeed = vPre1[i + 1] % m;
			if (mSub.count(iSub))
			{
				if(mSub[iSub].count(iNeed))
				{
					iRet += mSub[iSub][iNeed];
				}
			}
			{
				const int iSub = vPre1[i] - vPre2[i];
				mSub[iSub][vPre1[i]%m]++;
			}
		}
		return iRet;
	}
	int m_c;
};

优化代码

分析

优化点：
一，无需前缀和，记录当前元音数量就可以了。当前辅音数量=当前字符总数量-当前元音数量。
二，用std::pair<int,int> 做key。

代码

class Solution {
public:
	int beautifulSubstrings(string s, int k) {
		m_c = s.length();
		std::unordered_set<char> setVowel = { 'a','e','i','o' , 'u' };
		int m = 0;
		for (m = 1; 0 != m * m % k; m++);
		int iRet = 0;
		int iVowelNum = 0;
		std::map<std::pair<int, int>, int> mSubVowelToNum;
		for (int i = 0; i < m_c; i++)
		{
			const int preVowel = iVowelNum;
			if (setVowel.count(s[i]))
			{
				iVowelNum++;
			}
			const int iSub = iVowelNum - (i+1- iVowelNum);//当前元音数量减辅音数量
			auto pr = std::make_pair(iSub, iVowelNum%m);
			if (mSubVowelToNum.count(pr))
			{
				iRet += mSubVowelToNum[pr];
			}
			{
				const int iSub = preVowel - (i  - preVowel);
				auto pr = std::make_pair(iSub, preVowel%m);
				mSubVowelToNum[pr]++;
			}
		}
		return iRet;
	}
	int m_c;
};