前言
本章主要讲的是图的基本概念以及应用，面试的时候基本不考图~
一、图
1.1、基本概念
图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，具体的：
- 顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
- E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集 合。
(x, y)表示 x 到 y 的一条双向路径，即(x, y)是无方向的；Path<x, y>表示从x到y的一条单向通路，即Path是有方向的。例如下图：
顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边， 图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或，<vi, vj>。例如下图：
有向图和无向图：
- 在有向图中，顶点对是有序的，顶点对，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，和是两条不同的边；
- 在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边；
例如下图：
完全图：
- 在有n个顶点的无向图中，若有n * (n - 1) / 2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为 无向完全图；
- 在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向 相反的边，则称此图为有向完全图；
例如下图：
邻接顶点：
- 在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；
- 在有向图G中，若是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边与顶点u和顶点v相关联。
顶点的度：
顶点v的度是指与它相关联的边的条数（类似树的度），记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与 出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向 边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。注意：对于无向图，顶点的度等于该顶 点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从 顶点vi到顶点vj的路径。
路径长度：
- 对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；
- 对于带权的图，一条路径的路 径长度是指该路径上各个边权值的总和。
例如下图：
简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。回路或环：路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合。
例如下图：
子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图
例如下图：
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
例如下图：
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到 vi的路 径，则称此图是强连通图。
例如下图：
生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条 边。
二、图的存储结构
2.1、存储结构
在图的存储中，只需要保存：节点和边的关系即可～
2.1、邻接矩阵（考察重点）
邻接矩阵就是用矩阵（二维数组）来表示图的节点和边的关系，其中用 1 表示连通，0表示不连通.
如下无权值：
如下有权值：
2.1.1、代码实现
import java.util.Arrays;
public class GraphByMatrix {
private char[] arrayV;//顶点数组
private int[][] matrix;//邻接矩阵
private boolean isDirect;//是否是有向图
/**
* @param size 代表当前顶点的个数
* @param isDirect
*/
public GraphByMatrix(int size, boolean isDirect) {
this.arrayV = new char[size];
matrix = new int[size][size];
//这里约定：统一初始化为最大值
for(int i = 0; i < size; i++) {
Arrays.fill(matrix[i], Constant.MAX);
}
this.isDirect = isDirect;
}
/**
* 初始化顶点
* @param array
*/
public void initArrayV(char[] array) {
for(int i = 0; i < array.length; i++) {
arrayV[i] = array[i];
}
}
/**
* 增加边
* @param srcV 起点
* @param destV 终点
* @param weight 权值
*/
public void addEdge(char srcV, char destV, int weight) {
int srcIndex = getIndexOfV(srcV);
int destIndex = getIndexOfV(destV);
matrix[srcIndex][destIndex] = weight;
//如果是无向图，那么相反的位置，也同样需要置为空
if(!isDirect) {
matrix[destIndex][srcIndex] = weight;
}
}
/**
* 获取顶点的下标
* @param v
* @return
*/
private int getIndexOfV(char v) {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(arrayV[i] == v)
return i;
}
return -1;
}
/**
* 获取顶点的度，有向图 = 入度 + 出度
* @return
*/
public int getDevofV(char v) {
int count = 0;
int srcIndex = getIndexOfV(v);
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX) {
count++;
}
}
//计算有向图的入度
if(isDirect) {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[i][srcIndex] != Constant.MAX) {
count++;
}
}
}
return count;
}
//打印数组
public void printGraph() {
for(int i = 0; i < matrix.length; i++) {
for(int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
if(matrix[i][j] == Constant.MAX) {
System.out.print("∞ ");
} else {
System.out.print(matrix[i][j] + " ");
}
}
System.out.println();
}
}
//测试
public static void main(String[] args) {
GraphByMatrix graph = new GraphByMatrix(4, true);
char[] array = {'A', 'B', 'C', 'D'};
graph.initArrayV(array);
graph.addEdge('A', 'B', 1);
graph.addEdge('A', 'D', 1);
graph.addEdge('B', 'A', 1);
graph.addEdge('B', 'C', 1);
graph.addEdge('C', 'B', 1);
graph.addEdge('C', 'D', 1);
graph.addEdge('D', 'A', 1);
graph.addEdge('D', 'C', 1);
graph.printGraph();
//获取 A 的度
System.out.println(graph.getDevofV('A'));
}
}
2.2、邻接表
邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系 。
2.3.1、无向邻接表存储
Ps：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点vi边链表集 合中结点的数目即可。
2.3.2、有向图邻接表存储
Ps：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的 出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。
import java.util.ArrayList;
public class GraphByNode {
static class Node {
public int src;//起始位置
public int dest;//目标位置
public int weight;//权重
public Node next;
public Node(int src, int dest, int weight) {
this.src = src;
this.dest = dest;
this.weight = weight;
}
}
public char[] arrayV;
public ArrayList<Node> edgList;//存储边
public boolean isDirect;
public GraphByNode(int size, boolean isDirect) {
this.arrayV = new char[size];
edgList = new ArrayList<>(size);
for(int i = 0; i < size; i++) {
edgList.add(null);
}
this.isDirect = isDirect;
}
/**
* 初始化顶点
* @param array
*/
public void initArrayV(char[] array) {
for(int i = 0; i < array.length; i++) {
arrayV[i] = array[i];
}
}
/**
* 增加边
* @param srcV 起点
* @param destV 终点
* @param weight 权值
*/
public void addEdge(char srcV, char destV, int weight) {
int srcIndex = getIndexOfV(srcV);
int destIndex = getIndexOfV(destV);
addEdgeChild(srcIndex, destIndex, weight);
//无向图需要添加两条边
if(!isDirect) {
addEdgeChild(destIndex, srcIndex, weight);
}
}
private void addEdgeChild(int srcIndex, int destIndex, int weight) {
//这里拿到的是头结点
Node cur = edgList.get(srcIndex);
while(cur != null) {
if(cur.dest == destIndex) {
return;
}
cur = cur.next;
}
//之前没有存储过这条边
Node node = new Node(srcIndex, destIndex, weight);
node.next = edgList.get(srcIndex);
edgList.set(srcIndex, node);
}
/**
* 获取顶点的下标
* @param v
* @return
*/
private int getIndexOfV(char v) {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(arrayV[i] == v)
return i;
}
return -1;
}
//获取顶点的度
public int getDevOfv(char v) {
int count = 0;
int srcIndex = getIndexOfV(v);
Node cur = edgList.get(srcIndex);
while(cur != null) {
count++;
cur = cur.next;
}
//有向图
if(isDirect) {
int destIndex = srcIndex;
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(i == destIndex) {
continue;
} else {
Node pCur = edgList.get(i);
while(pCur != null) {
if(pCur.dest == destIndex) {
count++;
}
pCur = pCur.next;
}
}
}
}
return count;
}
public void printGraph() {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
System.out.print(arrayV[i] + "->");
Node cur = edgList.get(i);
while(cur != null) {
System.out.print(arrayV[cur.dest] + " ->");
cur = cur.next;
}
System.out.println();
}
}
//测试
public static void main(String[] args) {
GraphByNode graph = new GraphByNode(4, true);
char[] array = {'A', 'B', 'C', 'D'};
graph.initArrayV(array);
graph.addEdge('A', 'B', 1);
graph.addEdge('A', 'D', 1);
graph.addEdge('B', 'A', 1);
graph.addEdge('B', 'C', 1);
graph.addEdge('C', 'B', 1);
graph.addEdge('C', 'D', 1);
graph.addEdge('D', 'A', 1);
graph.addEdge('D', 'C', 1);
System.out.println("getDevOfV:" + graph.getDevOfv('A'));
graph.printGraph();
}
}
3.1、图的广度优先遍历（层序遍历）
类似于二叉树的层序遍历，也需要使用队列，首先将第一个元素（假设如上图中的B）放入队列，同时使用一个 boolean 类型数组标记这个元素已被放入（这样做是为了防止一个元素被多次放入），接着出队（将 B 弹出），将出队的元素的连通的结点（A，C结点）经检验不重复后（boolean 类型数组检验是否之前被放入过），再次放入队列，依次往复即可~
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
public class GraphByMatrix {
private char[] arrayV;//顶点数组
private int[][] matrix;//邻接矩阵
private boolean isDirect;//是否是有向图
/**
* @param size 代表当前顶点的个数
* @param isDirect
*/
public GraphByMatrix(int size, boolean isDirect) {
this.arrayV = new char[size];
matrix = new int[size][size];
//这里约定：统一初始化为最大值
for(int i = 0; i < size; i++) {
Arrays.fill(matrix[i], Constant.MAX);
}
this.isDirect = isDirect;
}
/**
* 初始化顶点
* @param array
*/
public void initArrayV(char[] array) {
for(int i = 0; i < array.length; i++) {
arrayV[i] = array[i];
}
}
/**
* 增加边
* @param srcV 起点
* @param destV 终点
* @param weight 权值
*/
public void addEdge(char srcV, char destV, int weight) {
int srcIndex = getIndexOfV(srcV);
int destIndex = getIndexOfV(destV);
matrix[srcIndex][destIndex] = weight;
//如果是无向图，那么相反的位置，也同样需要置为空
if(!isDirect) {
matrix[destIndex][srcIndex] = weight;
}
}
/**
* 获取顶点的下标
* @param v
* @return
*/
private int getIndexOfV(char v) {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(arrayV[i] == v)
return i;
}
return -1;
}
/**
* 获取顶点的度，有向图 = 入度 + 出度
* @return
*/
public int getDevofV(char v) {
int count = 0;
int srcIndex = getIndexOfV(v);
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX) {
count++;
}
}
//计算有向图的入度
if(isDirect) {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[i][srcIndex] != Constant.MAX) {
count++;
}
}
}
return count;
}
//打印数组
public void printGraph() {
for(int i = 0; i < matrix.length; i++) {
for(int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
if(matrix[i][j] == Constant.MAX) {
System.out.print("∞ ");
} else {
System.out.print(matrix[i][j] + " ");
}
}
System.out.println();
}
}
//广度优先遍历
public void bfs(char v) {
//数组用来标记顶点是否被使用过
boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];
//定义一个队列，来辅助完成 bfs
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
int srcIndex = getIndexOfV(v);
queue.offer(srcIndex);
while(!queue.isEmpty()) {
int top = queue.poll();
System.out.print(arrayV[top] + "->");
visited[top] = true;//每次弹出一个元素就置为 true
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[top][i] != Constant.MAX && !visited[i]) {
queue.offer(i);
visited[i] = true;//每次入队就置为true
}
}
}
}
//测试
public static void main(String[] args) {
GraphByMatrix graph = new GraphByMatrix(4, false);
char[] array = {'A', 'B', 'C', 'D'};
graph.initArrayV(array);
graph.addEdge('A', 'B', 1);
graph.addEdge('A', 'D', 1);
graph.addEdge('B', 'A', 1);
graph.addEdge('B', 'C', 1);
graph.addEdge('C', 'B', 1);
graph.addEdge('C', 'D', 1);
graph.addEdge('D', 'A', 1);
graph.addEdge('D', 'C', 1);
graph.bfs('B');
}
}
3.2、图的深度优先遍历
类似于二叉树的前序遍历，通过邻接矩阵进行优先遍历，例如起始位置为上图中的 B，那么上图中右边的邻接矩阵从竖列 B 元素开始向右，找到第一个不为 0 的，也就是通向 A 元素，那么接着再从竖列 A 元素开始向右，找到第一个不为 0 的，这里是 B 元素，但由于之前通向过 B 元素所以继续向右找不为 0 的，于此类推，最后得出 dfs 结果，如下代码
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
public class GraphByMatrix {
private char[] arrayV;//顶点数组
private int[][] matrix;//邻接矩阵
private boolean isDirect;//是否是有向图
/**
* @param size 代表当前顶点的个数
* @param isDirect
*/
public GraphByMatrix(int size, boolean isDirect) {
this.arrayV = new char[size];
matrix = new int[size][size];
//这里约定：统一初始化为最大值
for(int i = 0; i < size; i++) {
Arrays.fill(matrix[i], Constant.MAX);
}
this.isDirect = isDirect;
}
/**
* 初始化顶点
* @param array
*/
public void initArrayV(char[] array) {
for(int i = 0; i < array.length; i++) {
arrayV[i] = array[i];
}
}
/**
* 增加边
* @param srcV 起点
* @param destV 终点
* @param weight 权值
*/
public void addEdge(char srcV, char destV, int weight) {
int srcIndex = getIndexOfV(srcV);
int destIndex = getIndexOfV(destV);
matrix[srcIndex][destIndex] = weight;
//如果是无向图，那么相反的位置，也同样需要置为空
if(!isDirect) {
matrix[destIndex][srcIndex] = weight;
}
}
/**
* 获取顶点的下标
* @param v
* @return
*/
private int getIndexOfV(char v) {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(arrayV[i] == v)
return i;
}
return -1;
}
/**
* 获取顶点的度，有向图 = 入度 + 出度
* @return
*/
public int getDevofV(char v) {
int count = 0;
int srcIndex = getIndexOfV(v);
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX) {
count++;
}
}
//计算有向图的入度
if(isDirect) {
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[i][srcIndex] != Constant.MAX) {
count++;
}
}
}
return count;
}
//打印数组
public void printGraph() {
for(int i = 0; i < matrix.length; i++) {
for(int j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
if(matrix[i][j] == Constant.MAX) {
System.out.print("∞ ");
} else {
System.out.print(matrix[i][j] + " ");
}
}
System.out.println();
}
}
//广度优先遍历
public void bfs(char v) {
//数组用来标记顶点是否被使用过
boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];
//定义一个队列，来辅助完成 bfs
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
int srcIndex = getIndexOfV(v);
queue.offer(srcIndex);
while(!queue.isEmpty()) {
int top = queue.poll();
System.out.print(arrayV[top] + "->");
visited[top] = true;//每次弹出一个元素就置为 true
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[top][i] != Constant.MAX && !visited[i]) {
queue.offer(i);
visited[i] = true;//每次入队就置为true
}
}
}
}
// 深度优先遍历
public void dfs(char v) {
//数组用来标记顶点是否被使用过
boolean[] visited = new boolean[arrayV.length];
int srcIndex = getIndexOfV(v);
dfsChild(srcIndex, visited);
}
private void dfsChild(int srcIndex, boolean[] visited) {
System.out.print(arrayV[srcIndex] + "->");
visited[srcIndex] = true;
for(int i = 0; i < arrayV.length; i++) {
if(matrix[srcIndex][i] != Constant.MAX && !visited[i]) {
dfsChild(i, visited);
}
}
}
//测试
public static void main(String[] args) {
GraphByMatrix graph = new GraphByMatrix(4, false);
char[] array = {'A', 'B', 'C', 'D'};
graph.initArrayV(array);
graph.addEdge('A', 'B', 1);
graph.addEdge('A', 'D', 1);
graph.addEdge('B', 'A', 1);
graph.addEdge('B', 'C', 1);
graph.addEdge('C', 'B', 1);
graph.addEdge('C', 'D', 1);
graph.addEdge('D', 'A', 1);
graph.addEdge('D', 'C', 1);
// graph.bfs('B');
graph.dfs('B');
}
}
