956. 最高的广告牌

你正在安装一个广告牌，并希望它高度最大。这块广告牌将有两个钢制支架，两边各一个。每个钢支架的高度必须相等。
你有一堆可以焊接在一起的钢筋 rods。举个例子，如果钢筋的长度为 1、2 和 3，则可以将它们焊接在一起形成长度为 6 的支架。
返回 广告牌的最大可能安装高度 。如果没法安装广告牌，请返回 0 。
示例 1：
输入：[1,2,3,6]
输出：6
解释：我们有两个不相交的子集 {1,2,3} 和 {6}，它们具有相同的和 sum = 6。
示例 2：
输入：[1,2,3,4,5,6]
输出：10
解释：我们有两个不相交的子集 {2,3,5} 和 {4,6}，它们具有相同的和 sum = 10。
示例 3：
输入：[1,2]
输出：0
解释：没法安装广告牌，所以返回 0。
提示：
0 <= rods.length <= 20
1 <= rods[i] <= 1000
sum(rods[i]) <= 5000

动态规划

动态规划的状态表示

朴素方案：pre包括所有符合以下条件的元素{a j _j j​,b j _j j​}，a j _j j​<=b j _j j​含义是前 i个钢筋可能组成的支架组合。可能的状态数：10⁶。
优化方案：假设一b1-a1等于b2-a2，且a1<a2，则a1被淘汰。假定{a1,b1}能够组成的支架高度是n。则第一个剩余支架高度是：c=n-a1，第二个剩余支架高度是d=n-b1 。我们假定a2和c结果，b2和d结合，则第一个支架高度是: n-a1+a2 ，则第二个支架是：n-b1+b2。我们来证明两者相等。即 n-a1+a2 $\equiv$ n-b1+b2 $\to$ 左右加上 a 1 + b 1 − n ‾ → \underline{左右加上a1+b1-n}_\rightarrow 左右加上a1+b1−n​→​ b1+a2$\equiv$a1+b2 左右减去 a 1 + a 2 ‾ → \underline{左右减去a1+a2}_\rightarrow 左右减去a1+a2​→​ b1-a1$\equiv$ b2-a2就是假设一 $\to$ 如果a1,b1有解，则a2,b2也有解。而a1+c<a2+c，故a1,b1被淘汰。
pre[j]表示前 i个钢筋可能组成的支架组合中，两根支架的高度差为j，短支架的最大长度。j的取值范围[0,sum(rods[i]) /2]
dp表示前i+1个钢筋的组合。

动态规划的转移方程

每个钢架有三种可能：一，不使用。二，焊在短支架上。三，焊在长支架上。

动态规划的初始状态

pre[0]=0，其它为-10000，表示非法状态。

动态规划的填表顺序

任意顺序处理钢筋。

动态规划的返回值

pre[0]，如果是负数，返回0。

代码

核心代码

class Solution {
public:
	int tallestBillboard(vector<int>& rods) {
		const int n = accumulate(rods.begin(), rods.end(), 0)/2;
		vector<int> pre(n+1, -10000);
		pre[0] = 0;
		for (const auto& rod : rods)
		{
			auto dp = pre;//本钢筋不使用
			auto Add = [&](int i1, int i2)
			{
				if (i2 < i1)
				{
					swap(i1, i2);
				}
				if (i2 - i1 > n)
				{
					return;
				}
				dp[i2 - i1] = max(dp[i2 - i1], i1);
			};
			for (int iPre = 0; iPre <= n; iPre++)
			{
				const int i2 = iPre + pre[iPre];
				Add(pre[iPre] + rod, i2);
				Add(pre[iPre], i2 + rod);
			}
			pre.swap(dp);
		}
		return max(0, pre.front());
	}
};

核心代码

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	vector<int> rods;
	{
		Solution sln;
		rods = { 1, 2, 3, 6 };
		auto res = sln.tallestBillboard(rods);
		Assert(res,6);
	}

	{
		Solution sln;
		rods = { 1,2,3,4,5,6 };
		auto res = sln.tallestBillboard(rods);
		Assert(res, 10);
	}

	{
		Solution sln;
		rods = { 1,2 };
		auto res = sln.tallestBillboard(rods);
		Assert(res, 0);
	}
	


}

2023年一月

class Solution {
public:
int tallestBillboard(vector& rods) {
//key: 第一个钢筋的长度- 第二根钢筋的长度， value = 第二根钢筋的长度
std::unordered_map<int, int> mPreSubLen;
mPreSubLen[0] = 0;
for (const auto& idata : rods)
{
std::unordered_map<int, int> dp = mPreSubLen;
for (const auto& pre : mPreSubLen )
{
Add(dp, pre.first + idata, pre.second);
Add(dp, pre.first - idata, pre.second + idata);
}
mPreSubLen.swap(dp);
}
return mPreSubLen[0];
}
void Add(std::unordered_map<int, int>& dp,int iSub,int iLen)
{
auto it = dp.find(iSub);
if (dp.end() == it)
{
dp[iSub] = iLen;
}
else
{
it->second = max(it->second, iLen);
}
}
};

2023年8月

class Solution {
public:
int tallestBillboard(vector& rods) {
std::unordered_map<int, int> mDiffToMin;
for (const auto& n : rods)
{
std::unordered_map<int, int> cur = mDiffToMin;
auto AddNew = [&cur](const int& iDiff, const int& iMin)
{
if ((!cur.count(iDiff)) || (iMin > cur[iDiff]))
{
cur[iDiff] = iMin;
}
};
AddNew(n, 0);
for (const auto& [pre, iMin] : mDiffToMin)
{
AddNew(pre + n, iMin);
AddNew(max(pre+iMin, n + iMin) - min(pre + iMin, n + iMin), min(pre + iMin, n + iMin));
}
cur.swap(mDiffToMin);
}
return mDiffToMin[0];
}
};