本文涉及的基础知识点
组合数学汇总
C++差分数组
LeetCode2963:统计好分割方案的数目
给你一个下标从 0 开始、由 正整数 组成的数组 nums。
将数组分割成一个或多个 连续 子数组，如果不存在包含了相同数字的两个子数组，则认为是一种 好分割方案 。
返回 nums 的 好分割方案 的 数目。
由于答案可能很大，请返回答案对 109 + 7 取余 的结果。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4]
输出：8
解释：有 8 种 好分割方案 ：([1], [2], [3], [4]), ([1], [2], [3,4]), ([1], [2,3], [4]), ([1], [2,3,4]), ([1,2], [3], [4]), ([1,2], [3,4]), ([1,2,3], [4]) 和 ([1,2,3,4]) 。
示例 2：
输入：nums = [1,1,1,1]
输出：1
解释：唯一的 好分割方案 是：([1,1,1,1]) 。
示例 3：
输入：nums = [1,2,1,3]
输出：2
解释：有 2 种 好分割方案 ：([1,2,1], [3]) 和 ([1,2,1,3]) 。
参数范围：
1 <= nums.length <= 105
1 <= nums[i] <= 109
区间合并
时间复杂度: O(nlogn)
分析
如果存在两个相同的数，则两者必须在同一个子数组。比如：{1,2,1,3},不能像这样分：
一，{1},{2,1,3}
二，{1,2},{1,3}
假定有数组中x有两个或更多，第一个的索引是xi1，最后一个的索引是xi2。在区间[xi1,xi2)处不能被拆分。
如果y也存在2个或更多，且yi1 > xi1，如果yi1 <= xi2，则两个区间合并成[xi1,max(xi2,yi2)]。
处了区间[xi1,xi2] 的[xi1,xi2)共有(xi2-xi1)位不能分块外，其它都可以拆分。
总共有n-1个位置，可以拆分，扣掉各区间不能拆分的位置，假定有m个位置可以拆分，则结果是2m。
乘法原理+差分数组（2024年10月16重新解释)
将nums[i]和nums[i+1]分开，使得nums[i]和nums[i+1]处于不同子数组。简称i处分割，i ∈ \in ∈[0,n-2]。
如果nums[i1]和nums[i2]相等，则diff[i1]++,diff[i2]–。如果有多个nums[i1]==nums[i2]，取i1<i2的最大的i1。
最早diff的原始数组a[i]>0的地方不能分割。其它地方可以分割。
统计a[i]为0的数量cnt0。答案2cnt0。
代码
核心代码
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int numberOfGoodPartitions(vector<int>& nums) {
m_c = nums.size();
std::map<int, int> mLeftRight;
{
std::unordered_map<int, std::pair<int, int>> mValueToFirstEnd;
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
if (!mValueToFirstEnd.count(nums[i]))
{
mValueToFirstEnd[nums[i]] = std::make_pair(i, i);
}
else
{
mValueToFirstEnd[nums[i]].second = i;
}
}
for (const auto& [tmp, it] : mValueToFirstEnd)
{
mLeftRight[it.first] = it.second;
}
}
vector<std::pair<int, int>> vLeftRight;
for (auto it = mLeftRight.begin(); it != mLeftRight.end(); ++it)
{
int iRight = it->second;
auto ij = std::next(it);
while ( (mLeftRight.end() != ij) && (ij->first <= iRight))
{
iRight = max(iRight, ij->second);
ij++;
}
mLeftRight.erase(std::next(it), ij);
vLeftRight.emplace_back(it->first, iRight);
}
int iCanSplitPos = m_c - 1;
for (const auto& [left,right] : vLeftRight)
{
iCanSplitPos -= right - left;
}
return C1097Int<>(2).pow(iCanSplitPos).ToInt();
}
int m_c;
};
测试用例
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}
template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
int main()
{
Solution slu;
vector<int> nums;
int k;
{
Solution slu;
nums = { 2, 4, 7, 1, 2 };
auto res = slu.numberOfGoodPartitions(nums);
Assert(1, res);
}
{
Solution slu;
nums = { 1,2,1,3 };
auto res = slu.numberOfGoodPartitions(nums);
Assert(2,res );
}
{
Solution slu;
nums = { 1,1,1,1 };
auto res = slu.numberOfGoodPartitions(nums);
Assert(1, res);
}
}
差分数组
本题 ⟺ \iff ⟺ 相同的数必须子同一个数组。
如果x没有出现或只出现一次，对划分无影响。
假定x出现了两次，最小最大下标分别为：i1,i2 。i ∈ \in ∈[i1,i2),则i和i+1之间不能分开，否则x就被分开了。
n个元素的数组，只有n-1个划分位置[0,n-2]
多次区间修改，一次查询全部，故用差分数组。
代码
template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this /= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int numberOfGoodPartitions(vector<int>& nums) {
m_c = nums.size();
unordered_map<int,vector<int>> mIndex;
for (int i = 0; i < m_c; i++) {
mIndex[nums[i]].emplace_back(i);
}
vector<int> vDiff(m_c );
for (const auto& [tmp,v] : mIndex) {
if (v.size() < 2) { continue; }
vDiff[v[0]]++;
vDiff[v.back()]--;
}
int iCnt = 0;
int iSum = 0;
for (int i = 0; i + 1 < m_c; i++) {
iSum += vDiff[i];
iCnt += (0 == iSum);
}
return C1097Int<>(2).pow(iCnt).ToInt();
}
int m_c;
};
优化
最后的循环，可以删除。
class Solution {
public:
int numberOfGoodPartitions(vector& nums) {
m_c = nums.size();
std::map<int, int> mLeftRight;
{
std::unordered_map<int, std::pair<int, int>> mValueToFirstEnd;
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
if (!mValueToFirstEnd.count(nums[i]))
{
mValueToFirstEnd[nums[i]] = std::make_pair(i, i);
}
else
{
mValueToFirstEnd[nums[i]].second = i;
}
}
for (const auto& [tmp, it] : mValueToFirstEnd)
{
mLeftRight[it.first] = it.second;
}
}
int iCanSplitPos = m_c - 1;
for (auto it = mLeftRight.begin(); it != mLeftRight.end(); ++it)
{
int iRight = it->second;
auto ij = std::next(it);
while ( (mLeftRight.end() != ij) && (ij->first <= iRight))
{
iRight = max(iRight, ij->second);
ij++;
}
mLeftRight.erase(std::next(it), ij);
iCanSplitPos -= iRight - it->first;
}
return C1097Int<>(2).pow(iCanSplitPos).ToInt();
}
int m_c;
};
旧代码
template
class C1097Int
{
public:
C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
{
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)
{
return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(long long n)const
{
C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
int ToInt()const
{
return m_iData;
}
private:
int m_iData = 0;;
};
class Solution {
public:
int numberOfGoodPartitions(vector& nums) {
m_c = nums.size();
std::map<int, int> mLeftRight;
{
std::unordered_map<int, std::pair<int, int>> mValueToFirstEnd;
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
if (!mValueToFirstEnd.count(nums[i]))
{
mValueToFirstEnd[nums[i]] = std::make_pair(i, i);
}
else
{
mValueToFirstEnd[nums[i]].second = i;
}
}
for (const auto& [tmp, it] : mValueToFirstEnd)
{
mLeftRight[it.first] = it.second;
}
}
vector<std::pair<int, int>> vLeftRight;
vLeftRight.emplace_back(0, 0);
for (auto it = mLeftRight.begin(); it != mLeftRight.end(); ++it)
{
int iRight = it->second;
auto ij = std::next(it);
while ( (mLeftRight.end() != ij) && (ij->first <= iRight))
{
iRight = max(iRight, ij->second);
ij++;
}
mLeftRight.erase(std::next(it), ij);
vLeftRight.emplace_back(it->first, iRight);
}
vLeftRight.emplace_back(m_c-1, m_c-1);
C1097Int<> biRet = 1;
for (int i = 1; i < vLeftRight.size(); i++)
{
C1097Int<> biTmp = 2;
biRet *= biTmp.pow(vLeftRight[i].first - vLeftRight[i - 1].second);
}
return biRet.ToInt();
}
int m_c;
};
