本文涉及知识点

C++贪心 反证法 决策包容性
C++DFS

LeetCode2673. 使二叉树所有路径值相等的最小代价

给你一个整数 n 表示一棵 满二叉树 里面节点的数目，节点编号从 1 到 n 。根节点编号为 1 ，树中每个非叶子节点 i 都有两个孩子，分别是左孩子 2 * i 和右孩子 2 * i + 1 。
树中每个节点都有一个值，用下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 cost 表示，其中 cost[i] 是第 i + 1 个节点的值。每次操作，你可以将树中 任意 节点的值 增加 1 。你可以执行操作 任意 次。
你的目标是让根到每一个 叶子结点 的路径值相等。请你返回 最少 需要执行增加操作多少次。
注意：
满二叉树 指的是一棵树，它满足树中除了叶子节点外每个节点都恰好有 2 个子节点，且所有叶子节点距离根节点距离相同。
路径值 指的是路径上所有节点的值之和。
示例 1：

输入：n = 7, cost = [1,5,2,2,3,3,1]
输出：6
解释：我们执行以下的增加操作：

• 将节点 4 的值增加一次。
• 将节点 3 的值增加三次。
• 将节点 7 的值增加两次。
  从根到叶子的每一条路径值都为 9 。
  总共增加次数为 1 + 3 + 2 = 6 。
  这是最小的答案。
  示例 2：

输入：n = 3, cost = [5,3,3]
输出：0
解释：两条路径已经有相等的路径值，所以不需要执行任何增加操作。
提示：
3 <= n <= 10⁵
n + 1 是 2 的幂
cost.length == n
1 <= cost[i] <= 10⁴

C++贪心

C++贪心

两轮DFS：
第一轮：后序DFS，求各子树最大路径和并保存，令整棵树路径和的最大值iMax。return 当前节点的值+ max(DFS1(左子树),DFS1(右子树));
第二轮： 前序DFS，当前节点增加：iMax - ( 当前节点的祖先节点和 + 本子树最大路径和)
性质一：由于只能增加，不能减少，所以最终路径和一定大于等于iMax。
性质二：路径和大于iMax，一定不是最优解。如果路径和大于iMax，说明所有路径都加了1，每条路径都减少一个增加的1。如果一条路径有多个节点可以减，减层次最小的（根节点层次最小，叶节点层次最大）。从层次小的节点开始减。这样可以避免某条路径被减少了两次，下面用反证法证明：
令路径p1的节点n1已经减1，给路径p2的节点n2减1的时候，p1再次减一。$\to$ n1,n2都是p1的祖先，n2包括p2,n1不包括。$\to$ n2的层次 < n1的层次。与假设矛盾。
结论一：最终路径和就是iMax。
如果某条路径需要增加，则在保证不让其他路径超过iMax的情况下，增加层次小的节点。这样可以让更多的路径增加。决策包容性
DFS2(cur,need)
cur += need - 当前子树最大路径值
DFS2(左子树,need-cur)
DFS2(右子树,need-cur)
为了方便计算，可以插入任意一个原始，这样下标就从1开始。

代码

核心代码

class Solution {
		public:
			int minIncrements(int N, vector<int>& cost) {
				cost.insert(cost.begin(), 0);
				vector<int> maxs(N + 1);
				function<int(int)> DFS1 = [&](int root) {
					if (root > N) { return 0; }
					return maxs[root] = cost[root] + max(DFS1(root * 2), DFS1(root * 2 + 1));
				};
				const int iMax = DFS1(1);
				int ans = 0;
				function<void(int, int)> DFS2 = [&](int root, int need) {
					if (root > N) { return; }
					const int iAdd = need - maxs[root];
					ans += iAdd;
					DFS2(2 * root, need - iAdd - cost[root]);
					DFS2(2 * root + 1, need - iAdd - cost[root]);
				};
				DFS2(1, iMax);
				return ans;
			}			
		};

单元测试

int n;
		vector<int> cost;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			n = 7, cost = { 1, 5, 2, 2, 3, 3, 1 };
			auto res = Solution().minIncrements(n, cost);
			AssertEx(6, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			n = 3, cost = { 5,3,3 };
			auto res = Solution().minIncrements(n, cost);
			AssertEx(0, res);
		}

优化（不需要DFS）

任何叶子节点必须和兄弟节点相等，否则这两条路径必定不等。
一，将所有叶子节点增加到和他的兄弟节点相等。
二，令当前树为cur，将各左叶子加到父节节点。删除所有叶子节点，形成新树next。cur符合题意$⟺$ next符合题意。
执行一二，树的最大层次会减少1。不断执行，直到树的层次为1，结束。
无需DFS，直接按节点编号从大到小执行。

class Solution {
		public:
			int minIncrements(int N, vector<int>& cost) {
				cost.insert(cost.begin(), 0);
				int ans = 0;
				for (int i = N; i > 1; i-=2 ) {
					const int iMin = min(cost[i], cost[i - 1]);
					const int iMax = max(cost[i], cost[i - 1]);
					ans += iMax - iMin;
					cost[i / 2] += iMax;
				}
				return ans;
			}			
		};