斐波那契(黄金分割法)查找算法（FibonacciSearch）

1.基本介绍

1)黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
2)斐波那契数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数 的比例，无限接近 黄金分割值0.618

2.斐波那契(黄金分割法)原理

(1).斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid=low+F(k-1)-1（F代表斐波那契数列），如下图所示

(2).对F(k-1)-1的理解：

• 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 （F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 。该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1，则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1
• 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
• 但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可，由以下代码得到,顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可。

//获取到斐波那契分割数值的下标
        while (high > f[k] - 1){
            k++;
        }

import java.util.Arrays;

public class FibonacciSearch {

    public static int maxSize = 20;
    public static void main(String[] args) {
        int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};
        /*int f[] = fib();
        System.out.println(Arrays.toString(f));*/
        System.out.println("下标为：" + fibSearche(arr, 10));
    }

    //生成一个人fibonacci数列
    public static int[] fib(){
        int f[] = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 0; i < 20; i++) {
            if(i >= 2){
                f[i] = f[i-1] + f[i-2];
            }
        }
        return f;
    }

    //斐波那契查找算法
    public static int fibSearche(int a[], int key){
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
        int mid = 0;
        int f[] = fib();

        //获取到斐波那契分割数值的下标
        while (high > f[k] - 1){
            k++;
        }

        //因为f[k] 可能大于a的长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp
        //不足的部分用0填充
        int temp[] = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        //将填充的0 换位a
        for (int i  = a.length; i < f[k]; i++) {
            f[i] = a[high];
        }

        //循环找到key
        while (low <= high){ //当 low <= high 则一直循环
            mid = low +f[k-1] -1;

            if(key < temp[mid]){ //向左递归
                high -= 1;
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
                //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
            }else if(key > temp[mid]){ //向右递归
                low = mid + 1;
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-2] = f[k-3] + f[k-4]
                //4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
                //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            }else { //相等，找到了
                if(mid > high){
                    return a.length;
                }else {
                    return mid;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

• 结果