本文涉及知识点

C++贪心
数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
C++图论

LeetCode2607. 使子数组元素和相等

给你一个下标从 0 开始的整数数组 arr 和一个整数 k 。数组 arr 是一个循环数组。换句话说，数组中的最后一个元素的下一个元素是数组中的第一个元素，数组中第一个元素的前一个元素是数组中的最后一个元素。
你可以执行下述运算任意次：
选中 arr 中任意一个元素，并使其值加上 1 或减去 1 。
执行运算使每个长度为 k 的 子数组 的元素总和都相等，返回所需要的最少运算次数。
子数组 是数组的一个连续部分。
示例 1：
输入：arr = [1,4,1,3], k = 2
输出：1
解释：在下标为 1 的元素那里执行一次运算，使其等于 3 。
执行运算后，数组变为 [1,3,1,3] 。

• 0 处起始的子数组为 [1, 3] ，元素总和为 4
• 1 处起始的子数组为 [3, 1] ，元素总和为 4
• 2 处起始的子数组为 [1, 3] ，元素总和为 4
• 3 处起始的子数组为 [3, 1] ，元素总和为 4
  示例 2：

输入：arr = [2,5,5,7], k = 3
输出：5
解释：在下标为 0 的元素那里执行三次运算，使其等于 5 。在下标为 3 的元素那里执行两次运算，使其等于 5 。
执行运算后，数组变为 [5,5,5,5] 。

• 0 处起始的子数组为 [5, 5, 5] ，元素总和为 15
• 1 处起始的子数组为 [5, 5, 5] ，元素总和为 15
• 2 处起始的子数组为 [5, 5, 5] ，元素总和为 15
• 3 处起始的子数组为 [5, 5, 5] ，元素总和为 15
  提示：
  1 <= k <= arr.length <= 10⁵
  1 <= arr[i] <= 10⁹

同余 中位数贪心

错误想法

nums[i…i+k-1]之和等于nums[i+1…i+k]，则nums[i]等于nums[i+k] 。
i1<k <i2，i1%k等于i2%k ,i2+k >= n。nums[i2…i1-1]之和等于nums[i2+1…i1]$\to$ nums[i2] == nums[i1]。
故本题$⟺$ 同余的下标全部相等。根据中位数贪心，同余的数全部等于中的数。

并集查找

nums[i]和nums[(i+k)%nums.size()]相等，用并集查找处理间接相等。

代码

核心代码

class CUnionFind
{
public:
	CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)
	{
		for (int i = 0; i < iSize; i++)
		{
			m_vNodeToRegion[i] = i;
		}
		m_iConnetRegionCount = iSize;
	}	
	CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size())
	{
		for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {
			for (const auto& n : vNeiBo[i]) {
				Union(i, n);
			}
		}
	}
	int GetConnectRegionIndex(int iNode)
	{
		int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];
		if (iNode == iConnectNO)
		{
			return iNode;
		}
		return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);
	}
	void Union(int iNode1, int iNode2)
	{
		const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
		const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
		if (iConnectNO1 == iConnectNO2)
		{
			return;
		}
		m_iConnetRegionCount--;
		if (iConnectNO1 > iConnectNO2)
		{
			UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);
		}
		else
		{
			UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);
		}
	}

	bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)
	{
		return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);
	}
	int GetConnetRegionCount()const
	{
		return m_iConnetRegionCount;
	}
	vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量
	{
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		vector<int> vRet(iNodeSize);
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;
		}
		return vRet;
	}
	std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()
	{
		std::unordered_map<int, vector<int>> ret;
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);
		}
		return ret;
	}
private:
	void UnionConnect(int iFrom, int iTo)
	{
		m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;
	}
	vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引
	int m_iConnetRegionCount;
};

class Solution {
		public:
			long long makeSubKSumEqual(vector<int>& arr, int k) {
				CUnionFind uf(arr.size());				
				for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {
					uf.Union(i, (i + k) % arr.size());
				}
				auto m = uf.GetNodeOfRegion();
				long long ans = 0;
				for (auto& [tmp,indexs] : m) {		
					vector<int> v;
					for (const auto& i : indexs) {
						v.emplace_back(arr[i]);
					}
					const int i = v.size() / 2;
					nth_element(v.begin(), v.begin() + i, v.end());
					for (const auto& n : v) {
						ans += abs(n - v[i]);
					}
				}
				return ans;
			}
		};

单元测试

vector<int> arr;
		int k;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			arr = { 1, 4, 1, 3 }, k = 2;
			auto res = Solution().makeSubKSumEqual(arr, k);
			AssertEx(1LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			arr = { 2,5,5,7 }, k = 3;
			auto res = Solution().makeSubKSumEqual(arr, k);
			AssertEx(5LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			arr = { 10,3,8 }, k = 2;
			auto res = Solution().makeSubKSumEqual(arr, k);
			AssertEx(7LL, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod14)
		{
			arr = { 10,9,1,10,5 }, k = 3;
			auto res = Solution().makeSubKSumEqual(arr, k);
			AssertEx(14LL, res);
		}

裴蜀定理

所有长度为k的子数组相等 $\to$ a[i] = a[i+kx]
n = nums.size()
循环数组$\to$ a[i] = a[i+ny]
两者结合：a[i] = a[i+kx+ny]
根据裴蜀定理 kx+ny一定是gcd(k,n)的倍数。且存在正数解(x1,y1)使得kx+ny=gcd(k,n) 。我们对x1,y1同时乘以z，则结果是gck(k,n)的z倍。
故：kx+ny 只能是gck(k,n)的倍数，且可以是gcd(k,n)的任何倍数。
即： a[i]= a[i + z *gcd(k,n)]，$⟺$ 周期是gcd(k,n)

代码

class Solution {
		public:
			long long makeSubKSumEqual(vector<int>& arr, int k) {
				const int cycle = gcd(arr.size(), k);
				vector<vector<int>> v1(k);
				for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {
					v1[i % cycle].emplace_back(arr[i]);
				}
				long long ans = 0;
				for (auto& v : v1) {
					const int i = v.size() / 2;
					nth_element(v.begin(), v.begin() + i, v.end());
					for (const auto& n : v) {
						ans += abs(n - v[i]);
					}
				}
				return ans;
			}
		};