给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。
题目描述
给定两个大小分别为
m和n的正序（从小到大）数组nums1和nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。算法的时间复杂度应该为
O(log (m+n))。
示例 1：
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2] 输出：2.00000 解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2示例 2：
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4] 输出：2.50000 解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5
提示：
nums1.length == mnums2.length == n0 <= m <= 10000 <= n <= 10001 <= m + n <= 2000-10^6 <= nums1[i], nums2[i] <= 10^6
知识点
- 中位数的定义：一个集合的中位数将集合划分为两个等长的子集，其中一个子集的元素总是大于另一个子集的元素。
- 二分查找：由于数组是有序的，并且要求算法的时间复杂度为O(log(m+n))，我们需要使用二分查找技术来达到这个要求。
- 分治算法：通过将大问题分解为小问题来解决的一种算法策略。
- 数组操作：如索引访问、长度计算等基本操作。
解题思路
要达到O(log(m+n))的时间复杂度，直接合并两个数组后找中位数的方法（时间复杂度为O(m+n)）不可取。我们需要用到二分查找和分治的思想，关键是找到一个切分点，将两个数组分别切分为左右两部分，使得左边的元素总是小于右边的元素，并且左右两边的元素总数相等（或者只差一个元素，当总元素个数为奇数时）。
- 将较短的数组作为二分查找的对象，这样可以缩小查找范围，设较短的数组为A，较长的数组为B。
- 在A中设定一个切点i，在B中自动确定切点j，使得i+j等于两数组长度之和的一半（或一半多一，当总元素个数为奇数时）。
- 调整i的位置，使得
A[i-1] <= B[j]且B[j-1] <= A[i]，此时左边的元素总是小于右边的元素。 - 根据左右两部分的长度关系确定中位数：如果总长度是奇数，中位数是左边最大的数；如果总长度是偶数，中位数是左边最大的数和右边最小的数的平均值。
完整代码
Python
class Solution:
def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
A, B = nums1, nums2
total = len(nums1) + len(nums2)
half = total // 2
if len(B) < len(A):
A, B = B, A # 保证A是较短的数组
l, r = 0, len(A) - 1
while True:
i = (l + r) // 2 # A的切点
j = half - i - 2 # B的切点
Aleft = A[i] if i >= 0 else float("-infinity")
Aright = A[i + 1] if (i + 1) < len(A) else float("infinity")
Bleft = B[j] if j >= 0 else float("-infinity")
Bright = B[j + 1] if (j + 1) < len(B) else float("infinity")
# 分割正确
if Aleft <= Bright and Bleft <= Aright:
if total % 2:
return min(Aright, Bright)
return (max(Aleft, Bleft) + min(Aright, Bright)) / 2
elif Aleft > Bright:
r = i - 1
else:
l = i + 1
Java
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
if (nums1.length > nums2.length) {
int[] temp = nums1; nums1 = nums2; nums2 = temp; // 保证nums1是较短的数组
}
int m = nums1.length, n = nums2.length;
int totalLeft = (m + n + 1) / 2;
int l = 0, r = m;
while (l < r) {
int i = l + (r - l + 1) / 2;
int j = totalLeft - i;
if (nums1[i - 1] > nums2[j]) {
r = i - 1;
} else {
l = i;
}
}
int i = l, j = totalLeft - l;
int nums1LeftMax = i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];
int nums1RightMin = i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];
int nums2LeftMax = j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
int nums2RightMin = j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];
if (((m + n) % 2) == 1) {
return Math.max(nums1LeftMax, nums2LeftMax);
} else {
return (Math.max(nums1LeftMax, nums2LeftMax) + Math.min(nums1RightMin, nums2RightMin)) / 2.0;
}
}
}
C
double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size) {
if (nums1Size > nums2Size) { // 保证nums1是较短的数组
int* temp = nums1; nums1 = nums2; nums2 = temp;
int tmp = nums1Size; nums1Size = nums2Size; nums2Size = tmp;
}
int iMin = 0, iMax = nums1Size, halfLen = (nums1Size + nums2Size + 1) / 2;
while (iMin <= iMax) {
int i = (iMin + iMax) / 2;
int j = halfLen - i;
if (i < iMax && nums2[j-1] > nums1[i]){
iMin = i + 1; // i is too small
} else if (i > iMin && nums1[i-1] > nums2[j]) {
iMax = i - 1; // i is too big
} else { // i is perfect
int maxLeft = 0;
if (i == 0) { maxLeft = nums2[j-1]; }
else if (j == 0) { maxLeft = nums1[i-1]; }
else { maxLeft = fmax(nums1[i-1], nums2[j-1]); }
if ((nums1Size + nums2Size) % 2 == 1) { return maxLeft; }
int minRight = 0;
if (i == nums1Size) { minRight = nums2[j]; }
else if (j == nums2Size) { minRight = nums1[i]; }
else { minRight = fmin(nums2[j], nums1[i]); }
return (maxLeft + minRight) / 2.0;
}
}
return 0.0;
}
