本文涉及的知识点

C++图论 拓扑排序
C++动态规划

LeetCode 2050. 并行课程 III

给你一个整数 n ，表示有 n 节课，课程编号从 1 到 n 。同时给你一个二维整数数组 relations ，其中 relations[j] = [prevCoursej, nextCoursej] ，表示课程 prevCoursej 必须在课程 nextCoursej 之前 完成（先修课的关系）。同时给你一个下标从 0 开始的整数数组 time ，其中 time[i] 表示完成第 (i+1) 门课程需要花费的 月份 数。
请你根据以下规则算出完成所有课程所需要的 最少 月份数：
如果一门课的所有先修课都已经完成，你可以在 任意 时间开始这门课程。
你可以 同时 上 任意门课程 。
请你返回完成所有课程所需要的 最少 月份数。
注意：测试数据保证一定可以完成所有课程（也就是先修课的关系构成一个有向无环图）。
示例 1:

输入：n = 3, relations = [[1,3],[2,3]], time = [3,2,5]
输出：8
解释：上图展示了输入数据所表示的先修关系图，以及完成每门课程需要花费的时间。
你可以在月份 0 同时开始课程 1 和 2 。
课程 1 花费 3 个月，课程 2 花费 2 个月。
所以，最早开始课程 3 的时间是月份 3 ，完成所有课程所需时间为 3 + 5 = 8 个月。
示例 2：

输入：n = 5, relations = [[1,5],[2,5],[3,5],[3,4],[4,5]], time = [1,2,3,4,5]
输出：12
解释：上图展示了输入数据所表示的先修关系图，以及完成每门课程需要花费的时间。
你可以在月份 0 同时开始课程 1 ，2 和 3 。
在月份 1，2 和 3 分别完成这三门课程。
课程 4 需在课程 3 之后开始，也就是 3 个月后。课程 4 在 3 + 4 = 7 月完成。
课程 5 需在课程 1，2，3 和 4 之后开始，也就是在 max(1,2,3,7) = 7 月开始。
所以完成所有课程所需的最少时间为 7 + 5 = 12 个月。
提示：
1 <= n <= 5 * 10⁴
0 <= relations.length <= min(n * (n - 1) / 2, 5 * 10⁴)
relations[j].length == 2
1 <= prevCoursej, nextCoursej <= n
prevCoursej != nextCoursej
所有的先修课程对 [prevCoursej, nextCoursej] 都是 互不相同 的。
time.length == n
1 <= time[i] <= 10⁴
先修课程图是一个有向无环图。

动态规划+拓扑排序

动态规划的状态表示

dp[i] 记录学完课程i所需要的最少时间。空间复杂度：O(n)

动态规划的转移方程

dp[i] = times[i] + M a x i 的前置节点 n e x t d p [ n e x t ] Max_{i的前置节点next}dp[next] Maxi的前置节点next​dp[next]
时间复杂度：O(边数)

动态规划的初始值

全部为0。

动态规划的填表顺序

按有向图的拓扑顺序处理，可以保证无后效性。有向图方向：后续课程指向前置课程。建立邻接表的时候，吧从1开始改成从1开始。

动态规划的返回值

dp的最大值

代码

核心代码

class CTopSort
{
public:	
	template <class T = vector<int> >
	void Init(const vector<T>& vNeiBo,bool bDirect  )
	{
		const int iDelOutDeg = bDirect ? 0 : 1;
		m_c = vNeiBo.size();
		m_vBackNeiBo.resize(m_c);
		vector<int> vOutDeg(m_c);
		for (int cur = 0; cur < m_c; cur++)
		{
			vOutDeg[cur] = vNeiBo[cur].size();	
			for (const auto& next : vNeiBo[cur])
			{
				m_vBackNeiBo[next].emplace_back(cur);
			}
		}
		vector<bool> m_vHasDo(m_c);
		queue<int> que;
		for (int i = 0; i < m_c; i++)
		{
			if ( vOutDeg[i] <= iDelOutDeg)
			{
				m_vHasDo[i] = true;
				if (OnDo(i)) {
					que.emplace(i);
				}
			}
		}

		while (que.size())
		{
			const int cur = que.front();
			que.pop();
			for (const auto& next : m_vBackNeiBo[cur])
			{
				if (m_vHasDo[next] )
				{
					continue;
				}				
				vOutDeg[next]--;
				if (vOutDeg[next] <= iDelOutDeg )
				{
					m_vHasDo[next] = true;
					if (OnDo(next)) {
						que.emplace(next);
					}
				}
			}
		};
	}
	int m_c;
protected:
	virtual bool OnDo( int cur) = 0;
	vector<vector<int>> m_vBackNeiBo;	
	
};

class CTopSortEx :public CTopSort
{
public:
	virtual bool OnDo(int cur) override
	{
		m_vTopSort.emplace_back(cur);
		return true;
	}
	vector<int> m_vTopSort;
};

class Solution {
		public:
			int minimumTime(int n, vector<vector<int>>& relations, vector<int>& time) {
				vector<vector<int>> neiBo(n);
				for (const auto& v : relations) {
					neiBo[v[1]-1].push_back(v[0]-1);
				}
				CTopSortEx topSort;
				topSort.Init(neiBo, true);
				vector<int> dp(n);
				for (const auto& cur : topSort.m_vTopSort) {
					int iMax = 0;
					for (const auto& pre : neiBo[cur]) {
						iMax = max(iMax, dp[pre]);
					}
					dp[cur] = time[cur] + iMax;
				}
				return *max_element(dp.begin(), dp.end());
			}
		};

单元测试

int n;
		vector<vector<int>> relations;
		vector<int> time;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			n = 3, relations = { {1,3},{2,3} }, time = { 3,2,5 };
			auto res = Solution().minimumTime(n, relations, time);
			AssertEx(8, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			n = 5, relations = { {1,5},{2,5},{3,5},{3,4},{4,5} }, time = { 1,2,3,4,5 };
			auto res = Solution().minimumTime(n, relations, time);
			AssertEx(12, res);
		}