算法介绍

• 学习记录
• 支撑树
  • 覆盖原图的无环联通子图称作原图的一颗支撑树(生成树)
• 最小支撑树
  • 成本最低的支撑树,而成本是各边权重的总和
• 割
  • 顶点集V的任一非平凡子集和它的补集都构成一个割。
• 桥
  • 如果边uv满足顶点u在子集，v在补集 则称边uv是割的跨越边，也叫做桥。
• prim算法
  • 算法原理
    • 最小支撑树总是采用连接每一割的最短桥
  • 算法实现(贪心迭代)
    • 每一步迭代之前假设已经得到了最小支撑树T的一颗子树T(k) = (V(k), E(k))， 将V(k)和补集视作一个割,找到这个割的最短桥 e(k) = (v, u)，然后扩展成更大的子树 T(k+1) = (V(k+1), E(k+1));
    • 最初的T(1) 只包含单个顶点不包含边,所以可以从图中任意选择

代码实现

• 借鉴了优先级算法
• 每次T(k)扩充到T(k+1)的时候,可以将V(k)之外顶点u到V(k)的距离视作优先级,优先级更新函数就是更新新的邻接顶点的优先级,将优先级替换成对应边的权重

// 每次T(k)扩充到T(k+1)的时候,可以将V(k)之外顶点u到V(k)的距离视作优先级,优先级更新函数就是更新新的邻接顶点的优先级,将优先级替换成对应的权重
// 每次挑选优先级数最小的那个顶点 所以挑选出来权重最小的边
template <typename Tv, typename Te> struct PrimPu()
{
    virtual void operator() (Graph<Tv,Te> *graph, int v, int u){
        // 只针对v未发现的节点
        if (graph->status(u) != UNDISCOVER) {
            return;
        }

        // 更新父节点
        g->parent(u) = v;

        // 将当前顶点的优先级数更新成该边的权重
        if (graph->weight(v, u) <  graph->priority(u)) {
            graph->priority(u) = graph->weight(v, u);
        }
    }

};



 // 优先级搜索算法
    template <typename PU> void pfs(int v, PU prioUpdater){
        // 重置图状态
        reset();

        // 时间标签
        int clock = 0;
        int s = v;

        // 遍历所有顶点
        do {
            // 所有未发现的顶点执行优先级搜索算法
            if (status(v) == UNDISCOVERED) {
                PFS(v, prioUpdater);
            }

            // 迭代到下一顶点
            v = %n;
        } while (s != v);
    }

    // 连通域 优先级搜索框架
    template <typename PU> void PFS(int v, PU prioUpdater) {
        // 更新顶点优先级,状态
        priority(v) = 0; // 最高优先级
        status(v) = VISITED;

        // 起点s加入遍历树中
        parent(s) = -1;

        // 遍历所有顶点
        while(true) {
            // 更新当前顶点的邻接顶点的优先级数和父级顶点
            for (int w = firstNbr(s); w > -1 ; w = nextNbr(s, w)) {
                prioUpdater(this,s, w);
            }

            // 获取尚未加入遍历树中的所有顶点中优先级数最小的顶点
            int shortest = INT_MAX;
            for (int w =0; w < n ; w++) {
                if (status(w) == UNDISCOVERED && priority(w) < shortest) {
                    shortest = priority(w);
                    s = w;
                }
            }

            // TODO 自定义一些事情

            // 所有顶点都已经遍历过了
            if (status(s) == VISITED) {
                break;
            }

            // 更新当前顶点的状态
            status(s) = VISITED;
            type(parent(s), s) = TREE;
        }
    }