迪杰斯特拉算法(Dijkstra)

1.应用场景-最短路径问题

看一个应用场景和问题：

(1)战争时期，胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F, G7个村庄
(2)各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
(3)问：如何计算出D村庄到 其它各个村庄的最短距离?
(4)如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

2.迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

3.迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程

设置出发顶点为v，顶点集合V{v1,v2,vi…}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis{d1,d2,di…}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)
(1)从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
(2)更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
(3)重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束

4.迪杰斯特拉算法图解说明

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)

• 代码：

import java.util.Arrays;

public class DijkstraAlgorithm {

    public static void main(String[] args) {
        char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
        final int N = 65535;// 表示不可以连接
        //邻接矩阵
        int matrix[][] = {
                /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                /*A*/ {   0,  12, N, N, N,  16,  14},
                /*B*/ {  12,   0,  10, N, N,   7, N},
                /*C*/ { N,  10,   0,   3,   5,   6, N},
                /*D*/ { N, N,   3,   0,   4, N, N},
                /*E*/ { N, N,   5,   4,   0,   2,   8},
                /*F*/ {  16,   7,   6, N,   2,   0,   9},
                /*G*/ {  14, N, N, N,   8,   9,   0}};


        //创建 Graph对象
        Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
        //测试, 看看图的邻接矩阵是否ok
        graph.showGraph();
        graph.dsj(3);//D
        graph.showDijkstra();
    }
}

class Graph{
    private char[] vertex; //顶点数组
    private int[][] matrix; //邻接矩阵
    private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合

    public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) {
        this.vertex = vertex;
        this.matrix = matrix;
    }

    //显示图
    public void showGraph(){
        for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {
            for (int j = 0; j < matrix[0].length; j++) {
                System.out.printf("%8d", matrix[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    //显示最后的结果
    public void showDijkstra(){
        vv.show();
    }

    /**
     * 迪杰斯特拉算法
     * @param index
     */
    public void dsj(int index) {
        vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
        update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
        for(int j = 1; j <vertex.length; j++) {
            index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点
            update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
        }
    }

    /**
     * 更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点
     * @param index
     */
    public void update(int index){
        int len = 0;
        //遍历邻接矩阵的martix[index]行
        for (int j = 0; j < matrix[index].length; j++) {
            //len 表示出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和
            len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
            //如果j顶点没有被访问过，并且len小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新
            if(!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)){
                vv.updatePre(j, index); //更新j顶点的前驱结点为index顶点
                vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到j顶点的距离
            }
        }
    }

}

//已访问的顶点的集合
class VisitedVertex{
    //记录各个顶点是否访问过，1表示访问过，0表示未访问，会动态更新
    public int[] already_arr;

    //每个下标对应的值为前一个顶点的下标，会动态更新
    public int[] pre_visited;

    //记录出发顶点到其他所有顶点的距离，比如D点出发，就会记录D点到其他顶点的距离，求的最短距离就会存放到dis数组中
    public int[] dis;

    /**
     * 构造方法
     * @param length 顶点的个数
     * @param index 出发顶点对应的下标，如从D顶点出发，则index=3
     */
    public VisitedVertex(int length, int index) {
        this.already_arr = new int[length];
        this.pre_visited = new int[length];
        this.dis = new int[length];
        //初始化dis数组
        //开始时出发点到其他所有的顶点的距离都是65535(表示不可达)
        Arrays.fill(dis, 65535);
        //设置出发顶点被访问过
        this.already_arr[index] = 1;
        //出发顶点到自身的距离为0
        this.dis[index] = 0;
    }

    /**
     * 判断index指向的结点是否被访问过，（为1则为访问过）
     * 如果访问过则返回true，否则返回false
     * @param index
     * @return
     */
    public boolean in(int index){
        return already_arr[index] == 1;
    }

    /**
     * 更新出发顶点到index顶点的距离
     * @param index
     * @param len
     */
    public void updateDis(int index, int len){
        dis[index] = len;
    }

    /**
     * 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点
     * @param pre
     * @param index
     */
    public void updatePre(int pre, int index){
        pre_visited[pre] = index;
    }

    /**
     * 返回出发顶点到index顶点的距离
     * @param index
     * @return
     */
    public int getDis(int index){
        return dis[index];
    }

    /**
     * 继续选择并返回新的访问结点，比如这里的D顶点之后，就是C点作为新的访问顶点(不是出发顶点啊)
     * @return
     */
    public int updateArr(){
        int min = 65535;
        int index = 0;
        for (int i = 0; i < already_arr.length; i++) {
            if(already_arr[i] == 0 && dis[i] < min){
                min = dis[i];
                index = i;
            }
        }
        //更新index被访问过
        already_arr[index] = 1;
        return index;
    }

    //显示最后的结果，即输出三个数组
    public void show(){
        System.out.println("Dijkstra算法结果为：");
        for (int i : already_arr) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();

        for (int i : pre_visited) {
            System.out.print(i + " ");
        }
        System.out.println();

        for (int di : dis) {
            System.out.print(di + " ");
        }
        System.out.println();

        char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
        int count = 0;
        for (int di : dis) {
            if(di != 65535){
                System.out.print(vertex[count] + "(" + di + ")");
            }else {
                System.out.print("N");
            }
            count++;
        }

    }

}

• 结果：