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动态规划汇总

446. 等差数列划分 II - 子序列

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。
如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。
例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。
数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。
例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。
题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。
示例 1：
输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]
示例 2：
输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。
参数范围：
1 <= nums.length <= 1000
-2³¹ <= nums[i] <= 2³¹ - 1

动态规划

时间复杂度😮(nn)
空间复杂度😮(nn)

变量解析

长度大于2的称为等差子序列，长度等于2的不妨称为“准等差”。

mSubCount1	mSubCount1[i][sub]表示以nums[i]结尾，差为sub的“准等差”数量。
mSubCount2	mSubCount2[i][sub]表示以nums[i]结尾，差为sub的等差数列的数量。

动态规划的细节，方便检查

两层循环，分别枚举等差数列的最后一个元素和倒数第二个元素。

动态规划的状态表示	mSubCount1 和mSubCount2
动态规划的转移方程	mSubCount2 [i][sub] +=mSubCount1 [j][sub]+ mSubCount2 [j][sub] mSubCount1[i][sub]++
动态规划的初始状态	空
动态规划的填表顺序	i和j都是从小到大处理,确保动态规划的无后效性
动态规划的返回值	Sumi,submSubCount2[i][sub]

代码

核心代码

class Solution {
public:
	int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
		m_c = nums.size();
		vector<unordered_map<long long, int>> mSubCount1(m_c), mSubCount2(m_c);
		int iRet = 0;
		for (int i = 1; i < m_c; i++)
		{
			for (int j = 0; j < i; j++)
			{
				const long long sub = (long long)nums[i] - nums[j];
				if (mSubCount2[j].count(sub))
				{
					mSubCount2[i][sub] += mSubCount2[j][sub];
				}
				if (mSubCount1[j].count(sub))
				{
					mSubCount2[i][sub] += mSubCount1[j][sub];
				}
				mSubCount1[i][sub]++;				
			}
			for (const auto& [_tmp,cnt] : mSubCount2[i])
			{
				iRet += cnt;
			}
		}
		return iRet;
	}
	int m_c;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}
}


int main()
{
	vector<int> nums;
	{
		Solution sln;
		nums = { 1,1,1,1 };
		auto res = sln.numberOfArithmeticSlices(nums);
		Assert(5, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 2, 4, 6, 8, 10 };
		auto res = sln.numberOfArithmeticSlices(nums);
		Assert(7, res);
	}
	{
		Solution sln;
		nums = { 7,7,7,7,7 };
		auto res = sln.numberOfArithmeticSlices(nums);
		Assert(16, res);
	}

	{
		Solution sln;
		nums = { 0, 2000000000, -294967296 };
		auto res = sln.numberOfArithmeticSlices(nums);
		Assert(16, res);
	}


}

可以优化掉一个变量

class Solution {
public:
int numberOfArithmeticSlices(vector& nums) {
m_c = nums.size();
vector<unordered_map<long long, int>> mSubCount(m_c);
int iRet = 0;
for (int i = 1; i < m_c; i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
const long long sub = (long long)nums[i] - nums[j];
if (mSubCount[j].count(sub))
{
mSubCount[i][sub] += mSubCount[j][sub];
iRet += mSubCount[j][sub];
}
mSubCount[i][sub]++;
}
}
return iRet;
}
int m_c;
};

2023年1月版

class Solution {
public:
int numberOfArithmeticSlices(vector& nums) {
m_c = nums.size();
vector<std::unordered_map<long long, int>> dp(m_c);
int iRet = 0;
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
for (int j = 0; j < i; j++)
{
long long tmp = 1LL * nums[i] - nums[j];
auto it = dp[j].find(tmp);
int iNum = (dp[j].end() == it) ? 0 : it->second ;
iRet += iNum;
dp[i][tmp] += iNum + 1;
}
}
return iRet;
}
int m_c;
};